Trujillo Perez Adrian

La derivada de una función
Es aquella denotada por f´(x) tal que su valor es un numero ´´x´´ del dominio se f.

f´(x)= lim f(x +∆x) – f(x)

∆ x→0 x∆

si existe limite
F´(x) es un subconjunto de f al comparar estas dos ecuaciones la pendiente de la recta tangente en el punto x, f´(x1) es la derivada de la función en x1.
Ejemplo
Determine la derivada de f

f(x)= 3 / x

Si x es un número del dominio de f

$f^{\prime}= \displaystyle\lim_{\Delta x \to{0}\0}{}= \frac{\frac{3}{x +\Delta x}- \frac{3}{x}}{\Delta x }$

$f^{\prime}=\displaystyle\lim_{\Delta x \to{0}}{}\frac{\frac{3x-3(x+\Delta x)}{(x)(x+\Delta x)}}{\Delta x}$

$f^{\prime}=\displaystyle\lim_{\Delta x \to{0}}{}\frac{3x-3x-3\Delta x}{\Delta x(x+\Delta x)x}$

$f^{\prime}=\displaystyle\lim_{\Delta x \to{0}}{}\frac{-3}{x(x+\Lambda x)}$

$f^{\prime}=\displaystyle\lim_{\Delta x \to{0}}{}\frac{-3}{x^2}$

DIFERENCIACION DE POTENCIAS

$f^{\prime}(x)=-nx^- ^n ^-^1$

EJEMPLO

$\frac{d}{dx}= \frac{3}{x^5}=3x^-^5$

$f^{\prime}= -5(3x^-^5^-^1) = -15x^-^6 = \frac{-15}{x^6}$

DIFERENCIACION PARA EL PRODUCTO

$h^{\prime}(x)=f(x)g^{\prime}(x) + g(x)f^{\prime}(x)$

EJEMPLOS

$\frac{d}{dx}= (2x^3 - 4x^2)(3x^5 + x^5)$

$\frac{d}{dx}= (2x^3 - 4x^2)dx(3x^5 + x^5)+(3x^5 + x^5)dx(2x^3 - 4x^2)$

$h^{\prime}=2x^3-4x^2(15x^4+2x)+3x^5+x^2(6x^2-8x)$

$h^{\prime}=30x^7+4x^4-60x^6-8x^3+18x^7-24x^6+6x^4-8x^3$

$h^{\prime}=48x^7-84x^6+10x^4-16x^3$

$h^{\prime}=2x^3(24x^4-42x^3+5x-8)$

INCREMENTO Y DIRENCIALES

Sea f una función, considerando y= f(x). En muchas aplicaciones se tiene que la variable independiente x varia ligeramente y se necesita encontrar la variable correspondiente de la variable dependiente y.

si. x

$x1\xrightarrow{\;\;\;\;\;\;\;\;}x2\end{matrix}$

$\Delta x= x2 - x1$

$x2= \Delta x + x1$

Análogamente ∆y correspo0nde a la variación de la variable dependiente correspondiente al cambio ∆x

$\Delta y= f(x_2)-f(x_1) = f(x_1 + \Delta x ) - f(x_1)$

EJEMPLO

$y=( 3x^2-5 ) . encontrar.. \Delta y ..en. .x=2 ..\Delta x= 0.1$

$\Delta y =f(x_1+\Delta x)-f(x_1)$

$\Delta y =3(2.1)^2-5-(3(2)^2-5)$

$\Delta y =8.23 - 7$

$\Delta y =1.23$
La notación de incremento se puede usar en la definición de la derivada de una función únicamente sustituimos ∆x en lugar de h y considerar x como valor inicial de la variable independiente

$f^{\prime}=\displaystyle\lim_{\Delta x \to{0}}{}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

x- valor inicial

$\Delta y ={f(x+\Delta x)-f(x)}$

sustitucion en $f^{\prime}(x)$

$f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x \to{0}}{}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Se puede expresar la derivada de f. es el limite de la razón del incremento ∆y de la variable dependiente y el incremento ∆x de la variable independiente cuando este ultimo tiende a cero.

Si x = x1 en la grafica
$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ es la pendiente de la recta secante que pasa por p , Q.

Si f es derivable

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = f´(x) Si ∆x se acerca a cero.

Esto significa geométricamente. Si ∆x esta cerca de cero entonces la pendiente $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ de la secante esta cerca de la pendiente f´(x) de la recta tangente en el punto.

Esto significa que y= f(x), donde f es derivable y ∆x un incremento de x, entonces la diferencial dy de la variable dependiente Y esta dada por
dy= f´(x) ∆x

la diferencial dx de la variable independiente x esta dada por

$dx=\Delta x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{f^{\prime}(x)\Deltax}{\Delta x}=f^{\prime}(x)$

DEFINICION DE INTEGRAL Y METODO DE INTEGRACION

Es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de toda las antiderivadas de una función

_f_(_x_)_ +_ c_" alt="\int_ f_(_x_)_d_x_ > _f_(_x_)_ +_ c_" align="absmiddle">

donde $f^{\prime}=f(x)$ y de $\int f(x)= f(x) + c$

Cuando se antideriva una función se obtiene la función mas una constante arbitraria.

$\int f(x)= f(x) + c$

donde $f^{\prime}(x)=f(x)$

$\int (f(x))=f(x) + c$

La antiderivacion es una opción inversa a la diferenciación.

TEOREMAS:

$1.-\int dx = x + C$

$2.-\int af(x)dx = a \int f(x)dx$

$3.-\int f(x)+g(x) = \int f(x)dx + \int g(x)dx$

$4.-\int (c_1 f_1(x)+ c_2 f_2(x) +.....c_n f_n )dx = c_1\int f_1(x)dx +c_2 \int f_2(x)dx+....c_n \int f_c(x)dx$

$5.-x^n dx =\frac{x^n^+^1}{n + 1} + c$

EJEMPLOS

del teorema 5. para valores de n.

$1.- \int x^2 dx =\frac{x^3}{3} + c$

$2.- \int \frac{1}{x^2} dx = x^-^2 =\frac{x^-^1}{-1} = -\frac{1}{x}$

$3.- \int \sqrt[3]{x} dx = x^\frac{1}{3} = \frac{x^\frac{1}{3}^+^1}{\frac{1}{3}} + c = \frac{x^\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}}+ c= \frac{3}{4}x^\frac{4}{3} + c$

del teorema 2.

$\int (3x + 5)dx= 3 \int x dx + 5 \int dx =\frac{3x^2}{2} + 5x + c$

$\int (5x^4-8x^3+9x^2-2x+7)dx= 5 \int x^4 dx - 8 \int x^3 dx + 9 \int x^2 dx - 2 \int x dx + 7 \int dx$

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Integrales

$\int Sen x dx = - Cos x + c$

$\int Cos x dx = Sen x + c$

$\int Sec^2 x dx = Tan x + c$

$\int Csc^2 x dx = - Cot x + c$

$\int Sec x . tan x dx = Sec x + c$

$\int Csc x . Cot x dx = -Csc x + c$

Identidades

$Tan x =\frac{Sen x}{cos x}$

$Cotx =\frac{Cos x}{Sen x}$

EJEMPLOS

$1.-\int (tan^2x + cot^2 x + 4 )dx = \int tan^2x dx + \int cot^2x dx +4\int dx$

$= \int sec^2xdx - 1 \int dx + \int csc^2x dx-1\int dx +4\int dx$

$2.- \int \frac{2cot x -3sen^2x}{sen x}dx = 2\int \frac{cotx}{sen x}dx -3\int \frac{sen^2x}{senx}dx$

$= 2\int \frac{1}{sen x}* cotxdx -3\int sen xdx$

$= 2\int cscx* cotxdx -3\int sen xdx$

$3.- \int \frac{cos x}{sen^2x}dx= \int \frac{cosx}{senx} \frac{1}{senx} dx$

$= \int cot x. csc x .dx$

$4.- \int (x cosx^2)dx = \int x cos x^2 dx$

$= \frac{x^2}{2}senx^2 + c$

INTEGRALES DIRECTAS

$\int \frac{5t^2 + 7}{t^\frac{4}{3}} dt$ $= \frac{15}{5} t^\frac{5}{3} + \frac{7t^\frac{-1}{3}}{\frac{-1}{3}}$

$= 3t^\frac{5}{3}-21t^\frac{-1}{3} + c$

$2.- \int y^3 (2y^2 - 3) dy$

$\int (2y^5 - 3y^3) dy=$ $2 \int y^5 -3 \int y^3 dy$

$=\frac{2}{6}y^6 - \frac{3}{4} y^4 = \frac{1}{3}y^6 -\frac{3}{4}y^4 + c$

$3.-\int \sqrt {x}. (x + 1)dx=$

$= \int x^\frac{1}{2}(x+1)dx=$

$= \int (x^\frac{3}{2}) +x^\frac{1}{2}dx$ $= \int (x^\frac{3}{2})dx + \int x^\frac{1}{2}dx$

$= \frac{x^\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} +\frac{x^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}$

$= \frac{2}{5}x^\frac{5}{2} + \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} + c$

INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE O METODO DE SUSTITUCION

$\int f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int f(u)du= f(g(x))+ c$

donde u es igual a y du es igual a $g^{\prime}$

EJEMPLOS

$\int (2x^3 + 1)^7 x^2 dx =$

$= \frac{1}{6}\int (2x^3+1)^7 6x^2 dx$

$= \frac{1}{6}\int u^7du$

$= \frac{1}{6}(\frac{u^8}{8})$

$= \frac{1}{48}(2x^3+1)^8 + c$

$2.- \int \sqrt{t^3-1}..t^2 dt=$

$= \frac{1}{3} \int (t^3 - 1)^\frac{1}{2} 3t^2 dx$

$= \frac{1}{3} \int u^\frac{1}{2} du$

$= \frac{1}{3} \frac{u^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}$

$= \frac{2}{9} (t^3 - 1)^\frac{3}{2} + c$

$3.- \int \frac{x - 2}{(x^2-4x+)^3}dx$

$= \int (x^2 - 4x +3 )^-^3 (x-2)$

$=\frac{1}{2}\int (x^2-4x+3)^-^32(x-2)dx$

$= \frac{1}{2}\int u^-^3du$

$= \frac{1}{2}\frac{u^-^2}{-2}$ $= \frac{u^-^2}{-4}$ $= \frac{1}{-4u^2}$

$= \frac{1}{-4(x^2 - 4x +3)^2} +c$

$4.- \int \frac{s}{\sqrt[3]{1-2s^2}}ds = \int (1-2s)^\frac{-1}{3}s .ds$

$= \frac{1}{4} \int (1-2s^2)^\frac{-1}{3} -4s, ds$

$= \frac{1}{4} \int (u)^\frac{-1}{3} du$

$= \frac{1}{4} \frac{u^\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}$

$= -\frac{3}{8} u^\frac{2}{3} + c$

$= -\frac{3}{8} (1- 2s^2)^\frac{2}{3} + c$

INTEGRACION POR PARTES.

$\int u du = uv - \int v du$

$1) \int x sen x (dx)$

$1) \int x sen x (dx) = x (-cos x)+\int cos x dx$

$= -x cos x + \int cos x dx$

$2 )\int x^2 cos . 2x .dx =$

$dv=cos 2x dx \frac{1}{2} u= 2x du =2 dx$

$\frac{1}{2} \int cos 2x 2dx$

$v = \frac{1}{2} sen 2x$

SOFTWARE MATEMATICO

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Trujillo Perez Adrian

viernes, 6 de marzo de 2009

MATEMATICAS 2

domingo, 15 de febrero de 2009

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